1. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины х, закон распределения которой задается таблицей. X P 2 0,1 1 0,2 4 0,16 5 0,29 3 0,25

Решение:

Для решения этой задачи нам нужно вычислить:

• Математическое ожидание (E[X])
• Дисперсию (D[X])
• Среднее квадратичное отклонение (σ[X])

1. Математическое ожидание (E[X]):

Математическое ожидание вычисляется по формуле:

\[ E[X] = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i \]

Подставляем значения из таблицы:

\[ E[X] = (2 · 0,1) + (1 · 0,2) + (4 · 0,16) + (5 · 0,29) + (3 · 0,25) \]

\[ E[X] = 0,2 + 0,2 + 0,64 + 1,45 + 0,75 \]

\[ E[X] = 3,24 \]

2. Дисперсия (D[X]):

Дисперсия вычисляется по формуле:

\[ D[X] = E[X^2] - (E[X])^2 \]

Сначала найдем математическое ожидание от квадрата случайной величины (E[X²]):

\[ E[X^2] = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i \]

\[ E[X^2] = (2^2 · 0,1) + (1^2 · 0,2) + (4^2 · 0,16) + (5^2 · 0,29) + (3^2 · 0,25) \]

\[ E[X^2] = (4 · 0,1) + (1 · 0,2) + (16 · 0,16) + (25 · 0,29) + (9 · 0,25) \]

\[ E[X^2] = 0,4 + 0,2 + 2,56 + 7,25 + 2,25 \]

\[ E[X^2] = 12,66 \]

Теперь вычислим дисперсию:

\[ D[X] = 12,66 - (3,24)^2 \]

\[ D[X] = 12,66 - 10,4976 \]

\[ D[X] = 2,1624 \]

3. Среднее квадратичное отклонение (σ[X]):

Среднее квадратичное отклонение — это квадратный корень из дисперсии:

\[ ́̅[X] = D[X] \]

\[ ́̅[X] = 2,1624 \]

\[ ́̅[X] ≈ 1,4705 \]

Результаты:

• Математическое ожидание (E[X]): 3,24
• Дисперсия (D[X]): 2,1624
• Среднее квадратичное отклонение (σ[X]): 2,1624 ≈ 1,47