1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x^2

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной параболой \( y=x^2 \) и осью OX, найдём с помощью определённого интеграла. Поскольку график симметричен относительно оси OY, можем вычислить площадь одной половины и умножить на 2. Однако, на графике показана площадь от \( x=0 \) до \( x=1 \).

Формула для площади: \( S = \int_{a}^{b} f(x) dx \)

В данном случае \( f(x) = x^2 \), \( a=0 \), \( b=1 \).

Вычисляем интеграл:

\[ S = \int_{0}^{1} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} \]