2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x^2+5 и y=x+3

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной параболой \( y=x^2+5 \) и прямой \( y=x+3 \), найдём с помощью определённого интеграла. Сначала найдём точки пересечения этих функций, приравняв их:

\( x^2 + 5 = x + 3 \)

\( x^2 - x + 2 = 0 \)

Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 \).

Поскольку дискриминант отрицательный, графики не пересекаются. На графике показано, что одна функция лежит выше другой. Нужно найти площадь между графиками в указанных пределах. Предполагая, что пределы интегрирования указаны на оси X: \( x=-2 \) и \( x=1 \).

Функция \( y=x^2+5 \) находится выше \( y=x+3 \) на интервале \( [-2, 1] \) (например, при \( x=0 \): \( 5 > 3 \)).

Формула для площади: \( S = \int_{a}^{b} (f_{верх}(x) - f_{низ}(x)) dx \)

В данном случае \( f_{верх}(x) = x^2+5 \), \( f_{низ}(x) = x+3 \), \( a=-2 \), \( b=1 \).

Вычисляем интеграл:

\[ S = \int_{-2}^{1} ((x^2+5) - (x+3)) dx = \int_{-2}^{1} (x^2 - x + 2) dx \] \[ S = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{1} \] \[ S = \left( \frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 2(1) \right) - \left( \frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2(-2) \right) \] \[ S = \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 \right) - \left( -\frac{8}{3} - 2 - 4 \right) \] \[ S = \left( \frac{2 - 3 + 12}{6} \right) - \left( -\frac{8}{3} - 6 \right) = \frac{11}{6} - \left( -\frac{8+18}{3} \right) = \frac{11}{6} + \frac{26}{3} \] \[ S = \frac{11 + 52}{6} = \frac{63}{6} = \frac{21}{2} = 10.5 \]