3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x^2-4

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной параболой \( y=x^2-4 \) и осью OX, найдём с помощью определённого интеграла. Сначала найдём точки пересечения параболы с осью OX, решив уравнение \( x^2 - 4 = 0 \):

\( x^2 = 4 \)

Отсюда \( x_1 = -2 \) и \( x_2 = 2 \).

Формула для площади: \( S = \int_{a}^{b} f(x) dx \)

В данном случае \( f(x) = x^2 - 4 \), \( a=-2 \), \( b=2 \). Поскольку парабола направлена вверх, под осью OX, значение интеграла будет отрицательным. Площадь положительна, поэтому возьмём интеграл от \( -(x^2-4) \) или возьмём модуль от полученного интеграла.

Вычисляем интеграл:

\[ S = \int_{-2}^{2} (x^2 - 4) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 4x \right]_{-2}^{2} \] \[ S = \left( \frac{2^3}{3} - 4(2) \right) - \left( \frac{(-2)^3}{3} - 4(-2) \right) \] \[ S = \left( \frac{8}{3} - 8 \right) - \left( -\frac{8}{3} + 8 \right) = \frac{8}{3} - 8 + \frac{8}{3} - 8 \] \[ S = \frac{16}{3} - 16 = \frac{16 - 48}{3} = -\frac{32}{3} \]

Площадь положительна, поэтому \( S = |-\frac{32}{3}| = \frac{32}{3} \).