1. Вычислите: 1) ∛8; 2) ⁴√(81/16); 3) 32^(1/5) − 81^(1/4); 4) √(1/9) + ∛(−2 10/27) + ⁴√256; 5) ⁶√(3⁷ · 4⁵) · ⁶√(3⁵ · 4); 6) 2⁻² · 16^(1/2); 7) ⁴√(3 3/8 · 1 1/2) + ⁴√5 / ⁴√80; 8) (2⁻² · 5⁰) / ((0,5)⁻² − 5 · (−2)⁻² + (2/3)⁻²) + 4,75; 9) ⁴√(32 · ∛4) + ⁴√(64 · ∛(1/2)) − 3 · ∛(2 · ⁴√2).

1. Так как \(2^3=8\), то \(\sqrt[3]{8}=2\).

2. \(\sqrt[4]{\frac{81}{16}}=\frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}}=\frac{3}{2}\).

3. \(32^{1/5}-81^{1/4}=2-3=-1\).

4. Смешанное число под кубическим корнем равно \(-2\frac{10}{27}=-\frac{64}{27}\). Поэтому \(\sqrt{\frac19}+\sqrt[3]{-\frac{64}{27}}+\sqrt[4]{256}=\frac13-\frac43+4=3\).

5. Объединим корни одинаковой степени: \(\sqrt[6]{3^7\cdot4^5}\cdot\sqrt[6]{3^5\cdot4}=\sqrt[6]{3^{12}\cdot4^6}=3^2\cdot4=36\).

6. \(2^{-2}\cdot16^{1/2}=\frac14\cdot4=1\).

7. \(3\frac38=\frac{27}{8}\), \(1\frac12=\frac32\). Тогда \(\sqrt[4]{\frac{27}{8}\cdot\frac32}+\sqrt[4]{\frac5{80}}=\sqrt[4]{\frac{81}{16}}+\sqrt[4]{\frac1{16}}=\frac32+\frac12=2\).

8. \(2^{-2}\cdot5^0=\frac14\), а знаменатель равен \(4-\frac54+\frac94=5\). Следовательно, \(\frac{1/4}{5}+4.75=0.05+4.75=4.8\), то есть \(4,8\).

9. Первые два слагаемых под корнями равны: \(\sqrt[4]{32\cdot\sqrt[3]{4}}=\sqrt[12]{2^{17}}\) и \(\sqrt[4]{64\cdot\sqrt[3]{\frac12}}=\sqrt[12]{2^{17}}\). Кроме того, \(\sqrt[3]{2\cdot\sqrt[4]{2}}=\sqrt[12]{2^5}\), а \(\sqrt[12]{2^{17}}=2\sqrt[12]{2^5}\). Поэтому всё выражение равно \(2\sqrt[12]{2^{17}}-3\sqrt[12]{2^5}=\sqrt[12]{2^5}\).

Ответ: 1) 2; 2) 3/2; 3) −1; 4) 3; 5) 36; 6) 1; 7) 2; 8) 4,8; 9) ¹²√32.