2. Упростите выражение: 1) (⁴√(a³))^(−4/3); 2) a^(3/4) · ⁸√(a⁵); 3) (x^(−7/2) · y^(1/6)) ÷ (x^(−11/14) · y^(2/3)); 4) (a − 1)/(a^(3/4) + a^(1/2)) · (√a + ⁴√a)/(√a + 1) · a^(1/4) + 1; 5) (⁴√x − 2 · ⁴√y) · (⁴√x + 2 · ⁴√y) + 2 · ⁸√(y⁷) ÷ ⁸√(y³).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Для выражения необходимо \(a>0\). \((\sqrt[4]{a^3})^{-4/3}=(a^{3/4})^{-4/3}=a^{-1}=\frac1a\).
При \(a\geq0\) складываем показатели: \(a^{3/4}\cdot\sqrt[8]{a^5}=a^{3/4+5/8}=a^{11/8}\).
Здесь \(x>0\), \(y>0\). При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели: \(x^{-7/2-(-11/14)}y^{1/6-2/3}=x^{-19/7}y^{-1/2}=\frac{1}{x^{19/7}\sqrt y}\).
Положим \(t=\sqrt[4]{a}\), где \(a>0\). Тогда \(a=t^4\), и выражение до прибавления 1 преобразуется так:
\(\frac{t^4-1}{t^3+t^2}\cdot\frac{t^2+t}{t^2+1}\cdot t=\frac{(t-1)(t+1)(t^2+1)}{t^2(t+1)}\cdot\frac{t(t+1)}{t^2+1}\cdot t=(t-1)(t+1)=t^2-1\).
С учётом \(+1\) получаем \(t^2=\sqrt a\).
По формуле разности квадратов первая часть равна \((\sqrt[4]x)^2-(2\sqrt[4]y)^2=\sqrt x-4\sqrt y\). Также \(\frac{\sqrt[8]{y^7}}{\sqrt[8]{y^3}}=\sqrt[8]{y^4}=\sqrt y\) при \(y>0\). Значит, всё выражение равно \(\sqrt x-4\sqrt y+2\sqrt y=\sqrt x-2\sqrt y\).

Ответ: 1) 1/a; 2) a^(11/8); 3) 1/(x^(19/7)√y); 4) √a; 5) √x − 2√y.