1. Вычислите: a) $$2 \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \arctan \sqrt{3}$$ б) $$\operatorname{ctg} (\arccos \frac{1}{2} + \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2})$$

Краткое пояснение:

Для решения этих заданий необходимо знать значения тригонометрических функций и их обратных функций.

Пошаговое решение:

• 1.а)
  1. Вычисляем $$2 \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}$$: \( \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4} \).
  2. Вычисляем $$\frac{1}{2} \arctan \sqrt{3}$$: \( \arctan \sqrt{3} = \frac{\pi}{3} \).
  3. Подставляем значения: \( 2 \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi - \pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \).
• 1.б)
  1. Вычисляем $$\arccos \frac{1}{2}$$: \( \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3} \).
  2. Вычисляем $$\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$$: \( \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} \).
  3. Складываем значения: \( \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \).
  4. Вычисляем \(\operatorname{ctg} (\frac{2\pi}{3})\): \(\operatorname{ctg} (\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}\).

Ответ: а) $$\frac{\pi}{3}$$; б) $$-\frac{\sqrt{3}}{3}$$