3. Решите уравнение. a) $$3\sin^2 x + 4\sin x \cos x + \cos^2 x = 0$$ б) $$2\sin^2 x - 5\sin x \cos x - \cos^2 x = -2$$

Краткое пояснение:

Данные уравнения являются однородными тригонометрическими уравнениями, которые решаются делением на \(\cos^2 x\) или сведением к квадратному уравнению.

Пошаговое решение:

• 3.а)
  1. Заметим, что \(\cos x
     eq 0\) (иначе \(3\sin^2 x = 0\), что невозможно, так как \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)). Разделим обе части уравнения на \(\cos^2 x\): \( 3\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + 4\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \Rightarrow 3\operatorname{tg}^2 x + 4\operatorname{tg} x + 1 = 0 \).
  2. Сделаем замену \( y = \operatorname{tg} x \): \( 3y^2 + 4y + 1 = 0 \).
  3. Решим квадратное уравнение: \( y = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(3)(1)}}{2(3)} = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{6} = \frac{-4 \pm 2}{6} \). \( y_1 = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3} \), \( y_2 = -\frac{6}{6} = -1 \).
  4. Вернемся к замене: \( \operatorname{tg} x = -\frac{1}{3} \) или \( \operatorname{tg} x = -1 \).
  5. Решения: \( x = \operatorname{arctg}(-\frac{1}{3}) + \pi n \) или \( x = \operatorname{arctg}(-1) + \pi k = -\frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).
• 3.б)
  1. Представим \(-2\) как \( -2(\sin^2 x + \cos^2 x) \): \( 2\sin^2 x - 5\sin x \cos x - \cos^2 x = -2\sin^2 x - 2\cos^2 x \).
  2. Перенесем все в одну сторону: \( (2+2)\sin^2 x - 5\sin x \cos x + (-1+2)\cos^2 x = 0 \Rightarrow 4\sin^2 x - 5\sin x \cos x + \cos^2 x = 0 \).
  3. Разделим обе части на \(\cos^2 x\) (предполагая \(\cos x
     eq 0\)): \( 4\operatorname{tg}^2 x - 5\operatorname{tg} x + 1 = 0 \).
  4. Сделаем замену \( y = \operatorname{tg} x \): \( 4y^2 - 5y + 1 = 0 \).
  5. Решим квадратное уравнение: \( y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4(4)(1)}}{2(4)} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{8} = \frac{5 \pm 3}{8} \). \( y_1 = \frac{8}{8} = 1 \), \( y_2 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \).
  6. Вернемся к замене: \( \operatorname{tg} x = 1 \) или \( \operatorname{tg} x = \frac{1}{4} \).
  7. Решения: \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \) или \( x = \operatorname{arctg}(\frac{1}{4}) + \pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).
  8. Проверим случай \(\cos x = 0\). Если \(\cos x = 0\), то \(x = \frac{\pi}{2} + \pi m\), \(\sin^2 x = 1\). Подставляем в исходное уравнение: \( 2(1) - 5(  \pm 1)(0) - 0 = -2 \Rightarrow 2 = -2 \), что неверно. Значит, \(\cos x
     eq 0\) для всех решений.

Ответ: а) $$x = \operatorname{arctg}(-\frac{1}{3}) + \pi n$$ или $$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$$, $$n, k \in \mathbb{Z}$$; б) $$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$$ или $$x = \operatorname{arctg}(\frac{1}{4}) + \pi k$$, $$n, k \in \mathbb{Z}$$