2. Решите уравнение. a) $$2\sin x + \sqrt{2} = 0$$ б) $$\cos (\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}) = -1$$ в) $$\sin^2 x - 2\cos x + 2 = 0$$ г) $$\sin^2 x - \cos x \sin x = 0$$

Краткое пояснение:

Решение тригонометрических уравнений требует применения основных тригонометрических формул и методов.

Пошаговое решение:

• 2.а)
  1. Выразим $$\sin x$$: \( 2\sin x = -\sqrt{2} \Rightarrow \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
  2. Найдем решения: \( x = (-1)^n \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \). \( x = (-1)^n (-\frac{\pi}{4}) + \pi n \).
• 2.б)
  1. Приравняем аргумент косинуса к \( \pi + 2\pi n \), так как \(\cos \alpha = -1\) при \( \alpha = \pi + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \). \( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = \pi + 2\pi n \).
  2. Выразим \(x\): \( \frac{x}{2} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{3\pi}{2} + 4\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
• 2.в)
  1. Заменим $$\sin^2 x$$ на \(1 - \cos^2 x\): \( 1 - \cos^2 x - 2\cos x + 2 = 0 \Rightarrow -\cos^2 x - 2\cos x + 3 = 0 \Rightarrow \cos^2 x + 2\cos x - 3 = 0 \).
  2. Введем замену \( y = \cos x \): \( y^2 + 2y - 3 = 0 \).
  3. Решим квадратное уравнение: \( y = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-3)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2} \). \( y_1 = 1 \), \( y_2 = -3 \).
  4. Вернемся к замене: \( \cos x = 1 \) или \( \cos x = -3 \). \( \cos x = 1 \) дает \( x = 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \). \( \cos x = -3 \) решений не имеет.
• 2.г)
  1. Вынесем \(\sin x\) за скобки: \( \sin x (\sin x - \cos x) = 0 \).
  2. Следовательно, \( \sin x = 0 \) или \( \sin x - \cos x = 0 \).
  3. Решения для \(\sin x = 0\): \( x = \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
  4. Решения для \(\sin x - \cos x = 0\): \(\sin x = \cos x \Rightarrow \operatorname{tg} x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: а) $$x = (-1)^n (-\frac{\pi}{4}) + \pi n$$, $$n \in \mathbb{Z}$$; б) $$x = \frac{3\pi}{2} + 4\pi n$$, $$n \in \mathbb{Z}$$; в) $$x = 2\pi n$$, $$n \in \mathbb{Z}$$; г) $$x = \pi n$$ или $$x = \frac{\pi}{4} + \pi k$$, $$n, k \in \mathbb{Z}$$