№1. Вычислите: а) $\int_{-2}^{1}(4x^3+6x+1)\,dx$; б) $\int_0^1\frac{x}{\sqrt[5]{x^2}}\,dx$; в) $\int_0^{\pi}(x^4+\sin x-1)\,dx$; г) $\int_0^1\frac{dx}{64x^2-25}$; д) $\int_{\sqrt5}^{2\sqrt2}\frac{x\,dx}{\sqrt{3x^2+1}}$; е) $\int_{\pi/2}^{0}\sqrt{1+\sin z}\cdot\cos z\,dz$.

Question

Вопрос: $Фото задания: №1. Вычислите: а) $\int_{-2}^{1}(4x^3+6x+1)\,dx$; б) $\int_0^1\frac{x}{\sqrt[5]{x^2}}\,dx$; в) \(\int_0^{\pi}(x^4+\sin…$ Фото задания

№1. Вычислите: а) $\int_{-2}^{1}(4x^3+6x+1)\,dx$; б) $\int_0^1\frac{x}{\sqrt[5]{x^2}}\,dx$; в) $\int_0^{\pi}(x^4+\sin x-1)\,dx$; г) $\int_0^1\frac{dx}{64x^2-25}$; д) $\int_{\sqrt5}^{2\sqrt2}\frac{x\,dx}{\sqrt{3x^2+1}}$; е) $\int_{\pi/2}^{0}\sqrt{1+\sin z}\cdot\cos z\,dz$.

Accepted Answer

а) Первообразная: $F(x)=x^4+3x^2+x$. Тогда $F(1)-F(-2)=5-23=-18$.

б) $\frac{x}{\sqrt[5]{x^2}}=x^{3/5}$ при $x>0$. Поэтому $\int_0^1x^{3/5}\,dx=\left.\frac{5}{8}x^{8/5}\right|_0^1=\frac58$.

в) $\int_0^{\pi}(x^4+\sin x-1)\,dx=\left.\left(\frac{x^5}{5}-\cos x-x\right)\right|_0^{\pi}=\frac{\pi^5}{5}+2-\pi$.

г) Знаменатель обращается в ноль при $64x^2-25=0$, то есть при $x=\frac58$, внутри отрезка интегрирования. Интеграл несобственный: в точке разрыва подынтегральная функция имеет вертикальную асимптоту, и интеграл расходится. Поэтому конечного значения нет.

д) Так как $\frac{d}{dx}\sqrt{3x^2+1}=\frac{3x}{\sqrt{3x^2+1}}$, первообразная равна $\frac13\sqrt{3x^2+1}$. Тогда $\frac13\left(\sqrt{25}-\sqrt{16}\right)=\frac13$.

е) Первообразная: $\frac23(1+\sin z)^{3/2}$. Следовательно, $\left.\frac23(1+\sin z)^{3/2}\right|_{\pi/2}^{0}=\frac23-\frac{4\sqrt2}{3}=\frac23(1-2\sqrt2)$.

Ответ: а) −18; б) $\frac58$; в) $\frac{\pi^5}{5}+2-\pi$; г) интеграл расходится; д) $\frac13$; е) $\frac23(1-2\sqrt2)$.