1. Вычислите: a) \(\log_3 \frac{1}{27}\) б) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{2\log_{\frac{1}{3}} 7}\) в) \(\log_2 56 + 2\log_2 12 - \log_2 63\)

1. Вычислите:

1. а) \(\log_3 \frac{1}{27}\)
   

   Так как \(\frac{1}{27} = 3^{-3}\), то \(\log_3 \frac{1}{27} = \log_3 3^{-3} = -3\).



2. б) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{2\log_{\frac{1}{3}} 7}\)
   

   Используем свойство \(a^{log_a b} = b\) и \(n \log_a b = \log_a b^n\).

   
   

   \(\left(\frac{1}{3}\right)^{2\log_{\frac{1}{3}} 7} = \left(\frac{1}{3}\right)^{\log_{\frac{1}{3}} 7^2} = 7^2 = 49\).



3. в) \(\log_2 56 + 2\log_2 12 - \log_2 63\)
   

   Используем свойства логарифмов: \(\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)\), \(\log_a b - \log_a c = \log_a (b/c)\) и \(n \log_a b = \log_a b^n\).

   
   

   \(\log_2 56 + 2\log_2 12 - \log_2 63 = \log_2 56 + \log_2 12^2 - \log_2 63\)

   
   

   \(= \log_2 \frac{56 \cdot 12^2}{63} = \log_2 \frac{56 \cdot 144}{63}\)

   
   

   Сокращаем дробь:

   
   

   \(56 = 8 \cdot 7\), \(63 = 9 \cdot 7\).

   
   

   \( \log_2 \frac{8 \cdot 7 \cdot 144}{9 \cdot 7} = \log_2 \frac{8 \cdot 144}{9}\)

   
   

   \(144 = 9 \cdot 16\).

   
   

   \( \log_2 \frac{8 \cdot 9 \cdot 16}{9} = \log_2 (8 \cdot 16) = \log_2 (2^3 \cdot 2^4) = \log_2 2^7 = 7\).

Ответ: а) -3; б) 49; в) 7.