1. Вычислите: $$ \frac{2^{-7} \cdot 2^{-8}}{2^{-9}} $$

Решение:

Для вычисления значения выражения \( \frac{2^{-7} \cdot 2^{-8}}{2^{-9}} \) воспользуемся свойствами степеней:

• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).
• При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

Сначала вычислим числитель:

\( 2^{-7} \cdot 2^{-8} = 2^{-7 + (-8)} = 2^{-7 - 8} = 2^{-15} \)

Теперь разделим полученное выражение на знаменатель:

\( \frac{2^{-15}}{2^{-9}} = 2^{-15 - (-9)} = 2^{-15 + 9} = 2^{-6} \)

Переведём степень с отрицательным показателем в дробь:

\( 2^{-6} = \frac{1}{2^6} \)

Вычислим \( 2^6 \):

\( 2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64 \)

Таким образом, \( 2^{-6} = \frac{1}{64} \).

Ответ: \( \frac{1}{64} \).