№1. Вычислите определенный интеграл с помощью метода непосредственного интегрирования:

Решение:

1. а) \( \int_{-1}^{3} (6x^2 - 6x + 4)dx \)
   \( \int_{-1}^{3} (6x^2 - 6x + 4)dx = \left[ 2x^3 - 3x^2 + 4x \right]_{-1}^{3} \)
   \( = (2(3)^3 - 3(3)^2 + 4(3)) - (2(-1)^3 - 3(-1)^2 + 4(-1)) \)
   \( = (54 - 27 + 12) - (-2 - 3 - 4) = 39 - (-9) = 39 + 9 = 48 \)
2. б) \( \int_{1}^{4} (x^2 - 8x)dx \)
   \( \int_{1}^{4} (x^2 - 8x)dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 4x^2 \right]_{1}^{4} \)
   \( = \left( \frac{4^3}{3} - 4(4)^2 \right) - \left( \frac{1^3}{3} - 4(1)^2 \right) \)
   \( = \left( \frac{64}{3} - 64 \right) - \left( \frac{1}{3} - 4 \right) = \frac{64 - 192}{3} - \frac{1 - 12}{3} = \frac{-128}{3} - \frac{-11}{3} = \frac{-128 + 11}{3} = \frac{-117}{3} = -39 \)
3. в) \( \int_{3}^{9} \frac{9}{x} dx \)
   \( \int_{3}^{9} \frac{9}{x} dx = 9 \int_{3}^{9} \frac{1}{x} dx = 9 \left[ \ln|x| \right]_{3}^{9} \)
   \( = 9 (\ln|9| - \ln|3|) = 9 \ln(\frac{9}{3}) = 9 \ln(3) \)

Ответ: а) 48; б) -39; в) 9 \(\ln\) 3.