№2. Вычислите определенный интеграл с помощью метода замены переменной:

Решение:

1. а) \( \int_{0}^{1} (5x - 1)^3 dx \)
   Пусть \( u = 5x - 1 \). Тогда \( du = 5 dx \), \( dx = \frac{1}{5} du \).
   При \( x = 0 \), \( u = 5(0) - 1 = -1 \).
   При \( x = 1 \), \( u = 5(1) - 1 = 4 \).
   \( \int_{-1}^{4} u^3 \cdot \frac{1}{5} du = \frac{1}{5} \int_{-1}^{4} u^3 du = \frac{1}{5} \left[ \frac{u^4}{4} \right]_{-1}^{4} \)
   \( = \frac{1}{20} (4^4 - (-1)^4) = \frac{1}{20} (256 - 1) = \frac{255}{20} = \frac{51}{4} \)
2. б) \( \int_{0}^{\pi} \frac{\pi}{3} \sin 4x dx \)
   Пусть \( u = 4x \). Тогда \( du = 4 dx \), \( dx = \frac{1}{4} du \).
   При \( x = 0 \), \( u = 4(0) = 0 \).
   При \( x = \pi \), \( u = 4\pi \).
   \( \int_{0}^{4\pi} \frac{\pi}{3} \sin u \cdot \frac{1}{4} du = \frac{\pi}{12} \int_{0}^{4\pi} \sin u du \)
   \( = \frac{\pi}{12} \left[ -\cos u \right]_{0}^{4\pi} = \frac{\pi}{12} (- \cos(4\pi) - (-\cos(0))) \)
   \( = \frac{\pi}{12} (-1 - (-1)) = \frac{\pi}{12} (-1 + 1) = 0 \)

Ответ: а) \(\frac{51}{4}\); б) 0.