№3. Вычислите определенный интеграл с помощью метода интегрирования по частям:

Решение:

1. а) \( \int_{0}^{1} 4xe^x dx \)
   Пусть \( u = 4x \), \( dv = e^x dx \). Тогда \( du = 4 dx \), \( v = e^x \).
   \( \int u dv = uv - \int v du \)
   \( \int_{0}^{1} 4xe^x dx = \left[ 4xe^x \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} 4e^x dx \)
   \( = (4(1)e^1 - 4(0)e^0) - 4 \int_{0}^{1} e^x dx \)
   \( = (4e - 0) - 4 \left[ e^x \right]_{0}^{1} = 4e - 4(e^1 - e^0) \)
   \( = 4e - 4(e - 1) = 4e - 4e + 4 = 4 \)
2. б) \( \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{2}{3} \sin x dx \)
   \( \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{2}{3} \sin x dx = \frac{2}{3} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin x dx \)
   \( = \frac{2}{3} \left[ -\cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{2}{3} (- \cos(\frac{\pi}{3}) - (-\cos(0))) \)
   \( = \frac{2}{3} (- \frac{1}{2} - (-1)) = \frac{2}{3} (- \frac{1}{2} + 1) = \frac{2}{3} (\frac{1}{2}) = \frac{1}{3} \)

Ответ: а) 4; б) \(\frac{1}{3}\).