1. Выполните чертёж куба ABCDА₁B₁C₁D₁. По чертежу укажите: а) прямые, параллельные прямой AD; б) прямые, скрещивающиеся с прямой AB; в) пересекаются ли прямые B₁D и BC? B₁D и A₁C₁? г) найдите 3 пары параллельных прямых, 3 пары скрещивающихся прямых, 3 пары пересекающихся прямых; е) линией пересечения каких плоскостей является A₁B₁; ж) найдите S△ECF, если E — середина CC₁, F — середина BC, а сторона куба равна √7.

Рассмотрим куб ABCDА₁B₁C₁D₁, где ABCD и A₁B₁C₁D₁ — параллельные грани.

а) Прямые, параллельные AD: BC, A₁D₁ и B₁C₁.

б) Например, прямые, скрещивающиеся с AB: A₁D₁, B₁C₁ и CC₁. Каждая из них не пересекает AB и не параллельна ей.

в) Прямые B₁D и BC не пересекаются: они скрещиваются. Прямые B₁D и A₁C₁ также скрещиваются, поэтому в обоих случаях ответ — нет.

г) Примеры требуемых пар:

• параллельные: AB и CD; AD и BC; AA₁ и BB₁;
• скрещивающиеся: AB и CC₁; AD и BB₁; BC и DD₁;
• пересекающиеся: AB и BC; AB и AA₁; BC и CC₁.

е) Прямая A₁B₁ является линией пересечения плоскостей A₁B₁C₁D₁ и ABB₁A₁.

ж) Пусть ребро куба равно a = √7. Отрезки EC и CF равны половинам ребра: EC = CF = a/2. Они перпендикулярны, так как EC направлен вдоль ребра CC₁, а CF — вдоль BC. Поэтому

\(S_{\triangle ECF}=\frac12\cdot EC\cdot CF=\frac12\cdot\frac{\sqrt7}{2}\cdot\frac{\sqrt7}{2}=\frac78.\)

Ответ: площадь треугольника ECF равна \(\frac78\).