3. Дано: ABCD — пространственный четырёхугольник; L — середина AB; K — середина BC; N — середина DC; M — середина DA; BD = 34, AC = 26. Доказать: LKNM — параллелограмм, найти Pₗₖₙₘ.

В треугольнике ABC точки L и K — середины сторон AB и BC. По теореме о средней линии LK ∥ AC и \(LK=\frac{AC}{2}\).

В треугольнике ADC точки M и N — середины сторон AD и DC. Поэтому MN ∥ AC и \(MN=\frac{AC}{2}\). Значит, LK ∥ MN и LK = MN.

В треугольнике BCD точки K и N — середины сторон BC и CD, поэтому KN ∥ BD и \(KN=\frac{BD}{2}\).

В треугольнике BAD точки L и M — середины сторон BA и AD, поэтому LM ∥ BD и \(LM=\frac{BD}{2}\). Значит, KN ∥ LM и KN = LM. Противоположные стороны четырёхугольника попарно параллельны, следовательно, LKNM — параллелограмм.

Его периметр:

\(P_{LKNM}=2(LK+KN)=2\left(\frac{AC}{2}+\frac{BD}{2}\right)=AC+BD=26+34=60.\)

Ответ: LKNM — параллелограмм; \(P_{LKNM}=60\).