1. Высота цилиндра равна 5 см, диагональ осевого сечения составляет угол 45° с плоскостью основания. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Дано:

Высота цилиндра \( h = 5 \) см.

Угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания \( \alpha = 45^{\circ} \).

Найти:

Площадь полной поверхности цилиндра \( S_{полн} \).

Решение:

1. Осевое сечение цилиндра — прямоугольник. Диагональ этого прямоугольника образует с плоскостью основания прямоугольный треугольник. В этом треугольнике катеты — это высота цилиндра \( h \) и диаметр основания \( d \), а гипотенуза — диагональ осевого сечения.
2. Тангенс угла между диагональю осевого сечения и плоскостью основания равен отношению противолежащего катета (высоты) к прилежащему катету (диаметру основания): \( \text{tg } \alpha = \frac{h}{d} \).
3. Выразим диаметр основания: \( d = \frac{h}{\text{tg } \alpha} = \frac{5 \text{ см}}{\text{tg } 45^{\circ}} = \frac{5 \text{ см}}{1} = 5 \) см.
4. Радиус основания цилиндра: \( r = \frac{d}{2} = \frac{5 \text{ см}}{2} = 2.5 \) см.
5. Площадь боковой поверхности цилиндра: \( S_{бок} = 2 \pi r h = 2 \pi \cdot 2.5 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 25 \pi \) см².
6. Площадь основания цилиндра: \( S_{осн} = \pi r^2 = \pi (2.5 \text{ см})^2 = 6.25 \pi \) см².
7. Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания: \( S_{полн} = S_{бок} + 2 S_{осн} = 25 \pi \text{ см}^2 + 2 \cdot 6.25 \pi \text{ см}^2 = 25 \pi \text{ см}^2 + 12.5 \pi \text{ см}^2 = 37.5 \pi \) см².

Ответ: Площадь полной поверхности цилиндра равна 37.5π см².