7. Квадрат, сторона которого равна а, вращается вокруг оси, проходящей через одну из его сторон. Найдите площадь полной поверхности образовавшейся фигуры вращения.

Дано:

Квадрат со стороной \( a \).

Ось вращения проходит через одну из сторон квадрата.

Найти:

Площадь полной поверхности образовавшейся фигуры вращения \( S_{полн} \).

Решение:

1. При вращении квадрата вокруг оси, проходящей через одну из его сторон, образуется цилиндр.
2. Сторона квадрата, вокруг которой происходит вращение, является высотой цилиндра, то есть \( h = a \).
3. Противоположная сторона квадрата, совершающая оборот, является образующей окружности основания цилиндра, то есть радиусом основания цилиндра, \( r = a \).
4. Площадь боковой поверхности цилиндра: \( S_{бок} = 2 \pi r h = 2 \pi a \cdot a = 2 \pi a^2 \).
5. Площадь основания цилиндра: \( S_{осн} = \pi r^2 = \pi a^2 \).
6. Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания: \( S_{полн} = S_{бок} + 2 S_{осн} = 2 \pi a^2 + 2 (\pi a^2) = 2 \pi a^2 + 2 \pi a^2 = 4 \pi a^2 \).

Ответ: Площадь полной поверхности образовавшейся фигуры вращения равна 4πa².