1-й вариант. Определите вид четырёхугольника ABCD: 1) △BOA = △DOC; 2) AO — медиана △ABD, BO — медиана △ABC; 3) в четырёхугольнике ABCD диагональ BD, ∠CBD = 30°, ∠ABD = 60°, ∠ADB = 30°, ∠BCD = 90°; 4) △ABD и △CDB — равносторонние.

1. Из равенства треугольников следует, что BO = OD и AO = OC. Значит, диагонали BD и AC точкой O делятся пополам. Если диагонали четырёхугольника делятся пополам, то он — параллелограмм.
2. AO — медиана △ABD, значит, O — середина BD. BO — медиана △ABC, значит, O — середина AC. Диагонали делятся пополам, поэтому ABCD — параллелограмм.
3. ∠ABC = 30° + 60° = 90°. Поскольку ∠BCD = 90°, AB и CD перпендикулярны BC, следовательно, AB ∥ CD. В △BCD: ∠BDC = 180° − 30° − 90° = 60°. Тогда ∠ADC = ∠ADB + ∠BDC = 30° + 60° = 90°. У четырёхугольника есть прямой угол, а противоположные стороны AB и CD параллельны; кроме того, AD и BC перпендикулярны CD и потому параллельны. ABCD — прямоугольник.
4. Оба равносторонних треугольника имеют общую сторону BD. Поэтому AB = AD = BD = BC = CD. Все стороны четырёхугольника равны, значит, ABCD — ромб.

Ответ: 1) параллелограмм; 2) параллелограмм; 3) прямоугольник; 4) ромб.