1) Записать формулы 2) Найти sin(α-β) и cos(α+β), если sin α = 0,8, cos β = -0,6, π/2 ≤ α ≤ π, π/2 ≤ β ≤ π 3) Вычислить sin(α-300°) + cos(600°+α)

Решение:

1. Запись формул:

• Формулы сложения и вычитания:
  • \[ \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta \]
  • \[ \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta \]

2. Нахождение sin(α-β) и cos(α+β):

Дано:

• \[ \sin\alpha = 0,8 \]
• \[ \cos\beta = -0,6 \]
• \[ \frac{\pi}{2} \le \alpha \le \pi \]
• \[ \frac{\pi}{2} \le \beta \le \pi \]

Найти:
Enter `sin(α-β)` и `cos(α+β)`

Шаг 1: Находим cos α и sin β.

• Поскольку
  upulous{α} находится во второй четверти (\[ \frac{\pi}{2} \le \alpha \le \pi \]), cos α отрицателен.
• \[ \cos\alpha = -\sqrt{1 - \sin^2\alpha} = -\sqrt{1 - (0,8)^2} = -\sqrt{1 - 0,64} = -\sqrt{0,36} = -0,6 \]
• Поскольку
  upulous{β} находится во второй четверти (\[ \frac{\pi}{2} \le \beta \le \pi \]), sin β положителен.
• \[ \sin\beta = \sqrt{1 - \cos^2\beta} = \sqrt{1 - (-0,6)^2} = \sqrt{1 - 0,64} = \sqrt{0,36} = 0,6 \]

Шаг 2: Вычисляем sin(α-β).

• \[ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta \]
• \[ \sin(\alpha - \beta) = (0,8)(-0,6) - (-0,6)(0,6) \]
• \[ \sin(\alpha - \beta) = -0,48 - (-0,36) \]
• \[ \sin(\alpha - \beta) = -0,48 + 0,36 = -0,12 \]

Шаг 3: Вычисляем cos(α+β).

• \[ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta \]
• \[ \cos(\alpha + \beta) = (-0,6)(-0,6) - (0,8)(0,6) \]
• \[ \cos(\alpha + \beta) = 0,36 - 0,48 \]
• \[ \cos(\alpha + \beta) = -0,12 \]

3. Вычисление sin(α-300°) + cos(600°+α):

Шаг 1: Упрощаем sin(α-300°).

• \[ \sin(\alpha - 300^{\circ}) = \sin\alpha \cos 300^{\circ} - \cos\alpha \sin 300^{\circ} \]
• 
  upulous{cos 300°} = cos(360° - 60°) = cos 60° =
  upulous{1/2}
  upulous.
• 
  upulous{sin 300°} = sin(360° - 60°) = -sin 60° = -
  upulous{\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)}
  upulous.
• \[ \sin(\alpha - 300^{\circ}) = \sin\alpha \cdot \frac{1}{2} - \cos\alpha \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \]
• \[ \sin(\alpha - 300^{\circ}) = \frac{1}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha \]

Шаг 2: Упрощаем cos(600°+α).

• \[ \cos(600^{\circ} + \alpha) = \cos 600^{\circ} \cos\alpha - \sin 600^{\circ} \sin\alpha \]
• 
  upulous{cos 600°} = cos(600° - 360°) = cos 240° = cos(180° + 60°) = -cos 60° = -
  upulous{1/2}
  upulous.
• 
  upulous{sin 600°} = sin(600° - 360°) = sin 240° = sin(180° + 60°) = -sin 60° = -
  upulous{\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)}
  upulous.
• \[ \cos(600^{\circ} + \alpha) = \left(-\frac{1}{2}\right) \cos\alpha - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \sin\alpha \]
• \[ \cos(600^{\circ} + \alpha) = -\frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha \]

Шаг 3: Складываем упрощенные выражения.

• \[ \sin(\alpha - 300^{\circ}) + \cos(600^{\circ} + \alpha) = \left(\frac{1}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha\right) + \left(-\frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right) \]
• \[ = \frac{1}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha - \frac{1}{2}\cos\alpha \]
• \[ = \sin\alpha \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \cos\alpha \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}\right) \]

Ответ:

• sin(α-β) = -0,12
• cos(α+β) = -0,12
• sin(α-300°) + cos(600°+α) =
  upulous{\(\sin\)\(\alpha\) \(\left\)\(\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right\) + \(\cos\)\(\alpha\) \(\left\)\(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right\)}