2) Найти sin(α+β) и cos(α-β), если sin α = 0,6, cos β = 0,8, π/2 ≤ α ≤ π, π/2 ≤ β ≤ 2π

Решение:

Дано:

• \[ \sin\alpha = 0,6 \]
• \[ \cos\beta = 0,8 \]
• \[ \frac{\pi}{2} \le \alpha \le \pi \]
• \[ \frac{\pi}{2} \le \beta \le 2\pi \]

Найти:
Enter `sin(α+β)` и `cos(α-β)`

Шаг 1: Находим cos α и sin β.

• Поскольку
  upulous{α} находится во второй четверти (\[ \frac{\pi}{2} \le \alpha \le \pi \]), cos α отрицателен.
• \[ \cos\alpha = -\sqrt{1 - \sin^2\alpha} = -\sqrt{1 - (0,6)^2} = -\sqrt{1 - 0,36} = -\sqrt{0,64} = -0,8 \]
• Поскольку
  upulous{β} находится в четвертой четверти (\[ \frac{3\pi}{2} \le \beta \le 2\pi \]), sin β отрицателен.
• \[ \sin\beta = -\sqrt{1 - \cos^2\beta} = -\sqrt{1 - (0,8)^2} = -\sqrt{1 - 0,64} = -\sqrt{0,36} = -0,6 \]

Шаг 2: Вычисляем sin(α+β).

• \[ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta \]
• \[ \sin(\alpha + \beta) = (0,6)(0,8) + (-0,8)(-0,6) \]
• \[ \sin(\alpha + \beta) = 0,48 + 0,48 \]
• \[ \sin(\alpha + \beta) = 0,96 \]

Шаг 3: Вычисляем cos(α-β).

• \[ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta \]
• \[ \cos(\alpha - \beta) = (-0,8)(0,8) + (0,6)(-0,6) \]
• \[ \cos(\alpha - \beta) = -0,64 - 0,36 \]
• \[ \cos(\alpha - \beta) = -1 \]

Ответ:

• sin(α+β) = 0,96
• cos(α-β) = -1