3) Вычислить sin(α-300°) + cos(300°+α)

Решение:

Шаг 1: Упрощаем sin(α-300°).

• \[ \sin(\alpha - 300^{\circ}) = \sin\alpha \cos 300^{\circ} - \cos\alpha \sin 300^{\circ} \]
• 
  upulous{cos 300°} = cos(360° - 60°) = cos 60° =
  upulous{1/2}
  upulous.
• 
  upulous{sin 300°} = sin(360° - 60°) = -sin 60° = -
  upulous{\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)}
  upulous.
• \[ \sin(\alpha - 300^{\circ}) = \sin\alpha \cdot \frac{1}{2} - \cos\alpha \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \]
• \[ \sin(\alpha - 300^{\circ}) = \frac{1}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha \]

Шаг 2: Упрощаем cos(300°+α).

• \[ \cos(300^{\circ} + \alpha) = \cos 300^{\circ} \cos\alpha - \sin 300^{\circ} \sin\alpha \]
• \[ \cos(300^{\circ} + \alpha) = \frac{1}{2}\cos\alpha - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \sin\alpha \]
• \[ \cos(300^{\circ} + \alpha) = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha \]

Шаг 3: Складываем упрощенные выражения.

• \[ \sin(\alpha - 300^{\circ}) + \cos(300^{\circ} + \alpha) = \left(\frac{1}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha\right) + \left(\frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right) \]
• \[ = \frac{1}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\cos\alpha \]
• \[ = \sin\alpha \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \cos\alpha \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\right) \]
• \[ = \left(\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right) \sin\alpha + \left(\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right) \cos\alpha \]

Ответ:

• \[ \sin(\alpha - 300^{\circ}) + \cos(300^{\circ} + \alpha) = \left(\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right) \sin\alpha + \left(\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right) \cos\alpha \]