10.12. Упростите выражение: 1) ((18y² + 3y)/(27y³ − 1) − (3y + 1)/(9y² + 3y + 1)) : (1 − (3y − 1)/y − (5 − 6y)/(3y − 1)); 2) (3 + (a + b)²/(a − b)²) : (3 + (a − b)²/(a + b)²) · (a³ − b³)/(a³ + b³).

1) Разложим знаменатель первой дроби: 27y³ − 1 = (3y − 1)(9y² + 3y + 1). Тогда

(18y² + 3y)/(27y³ − 1) − (3y + 1)/(9y² + 3y + 1) = [18y² + 3y − (3y + 1)(3y − 1)]/[(3y − 1)(9y² + 3y + 1)] = 1/(3y − 1).

Для второй скобки приводим к общему знаменателю:

1 − (3y − 1)/y − (5 − 6y)/(3y − 1) = [−2y(3y − 1) + (3y − 1) − y(5 − 6y)]/[y(3y − 1)] = −1/[y(3y − 1)].

Деление на дробь заменяем умножением на обратную: [1/(3y − 1)] : [−1/(y(3y − 1))] = −y.

2) Упростим скобки:

3 + (a + b)²/(a − b)² = 4(a² − ab + b²)/(a − b)²;

3 + (a − b)²/(a + b)² = 4(a² + ab + b²)/(a + b)².

Разложим разность и сумму кубов: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²), a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²). После сокращения множителей получаем (a + b)/(a − b).

Ответ: 1) −y; 2) (a + b)/(a − b).

В первом выражении y ≠ 0 и y ≠ 1/3; во втором выражении исходные знаменатели должны быть ненулевыми.