10. (3 балла) В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) проведена высота СD. Гипотенуза АВ равна 18 см. ∠CBA = 30°. Найдите BD.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC:

• \( ∠ C = 90^\circ \)
• \( AB = 18 \) см (гипотенуза)
• \( ∠ CBA = 30^\circ \)

Мы можем найти длину катета AC, используя синус угла B:

\( AC = AB · ∠B = 18 · ∠30^\circ = 18 · 1/2 = 9 \) см.

Теперь найдем длину катета BC, используя косинус угла B:

\( BC = AB · ∠B = 18 · ∠30^\circ = 18 · ∠√3/2 = 9√3 \) см.

В прямоугольном треугольнике BCD, CD — высота, проведенная к гипотенузе.

\( ∠ CDB = 90^\circ \)

Угол B остаётся тем же: \( ∠ CBD = 30^\circ \).

Найдем отрезок BD, который является катетом в прямоугольном треугольнике BCD:

\( BD = BC · ∠ CBD = 9√3 · ∠30^\circ = 9√3 · 1/2 = √3/2 \) см.

Ответ: BD = \( 9√3/2 \) см.