10. \(5\frac{1}{6} : x = -31\).

1. Преобразуем смешанное число: \(5\frac{1}{6} = \frac{31}{6}\). Условие определено при \(x \ne 0\).
2. Запишем деление дробью: \(\frac{31}{6x} = -31\).
3. Разделим обе части на 31: \(\frac{1}{6x} = -1\), откуда \(6x = -1\).
4. Разделим на 6: \(x = -\frac{1}{6}\). Значение не равно нулю, значит, оно допустимо.

Ответ: \(x = -\frac{1}{6}\).