10.6 Катер вышел из пристани и отправился в город А, расположенный в 220 км. Через два часа вслед за ним отправился второй катер со скоростью на 1 км/ч быстрее. В город А они прибыли одновременно. Найдите скорость первого катера. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть \( v \) км/ч — скорость первого катера. Тогда скорость второго катера равна \( v + 1 \) км/ч.

Время в пути первого катера: \( t_1 = \frac{220}{v} \) часа.

Время в пути второго катера: \( t_2 = \frac{220}{v+1} \) часа.

Второй катер вышел на 2 часа позже, но прибыл одновременно с первым, значит, время его в пути на 2 часа меньше:

\( t_1 = t_2 + 2 \)

\( \frac{220}{v} = \frac{220}{v+1} + 2 \)

Умножим обе части уравнения на \( v(v+1) \):

\( 220(v+1) = 220v + 2v(v+1) \)

\( 220v + 220 = 220v + 2v^2 + 2v \)

\( 220 = 2v^2 + 2v \)

\( 2v^2 + 2v - 220 = 0 \)

Разделим на 2:

\( v^2 + v - 110 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-110) = 1 + 440 = 441 \]

\( \sqrt{D} = \sqrt{441} = 21 \)

Найдем корни уравнения:

\[ v_1 = \frac{-1 + 21}{2} = \frac{20}{2} = 10 \]

\[ v_2 = \frac{-1 - 21}{2} = \frac{-22}{2} = -11 \]

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем \( v = 10 \) км/ч.

Ответ: 10 км/ч.