10.7 Расстояние между пристанями А и В равно 60 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через два часа вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошел 35 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть \( v \) км/ч — скорость яхты в неподвижной воде. Скорость течения реки равна \( 5 \) км/ч.

Скорость плота по течению: \( v_{плот} = 5 \) км/ч.

Скорость яхты по течению: \( v_{яхты, по} = v + 5 \) км/ч.

Скорость яхты против течения: \( v_{яхты, против} = v - 5 \) км/ч.

Плот прошел 35 км за время \( t_{плот} = \frac{35}{5} = 7 \) часов.

Яхта отправилась через 2 часа после плота, значит, время в пути яхты равно \( t_{яхты} = t_{плот} - 2 = 7 - 2 = 5 \) часов.

Яхта прошла расстояние \( AB = 60 \) км по течению и \( 60 \) км обратно против течения. Общее расстояние, которое проплыла яхта, равно \( 60 + 60 = 120 \) км.

Общее время движения яхты: \( t_{яхты} = \frac{60}{v+5} + \frac{60}{v-5} = 5 \) часов.

Умножим обе части уравнения на \( (v+5)(v-5) \):

\( 60(v-5) + 60(v+5) = 5(v+5)(v-5) \)

\( 60v - 300 + 60v + 300 = 5(v^2 - 25) \)

\( 120v = 5v^2 - 125 \)

\( 5v^2 - 120v - 125 = 0 \)

Разделим на 5:

\( v^2 - 24v - 25 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\[ D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 576 + 100 = 676 \]

\( \sqrt{D} = \sqrt{676} = 26 \)

Найдем корни уравнения:

\[ v_1 = \frac{24 + 26}{2} = \frac{50}{2} = 25 \]

\[ v_2 = \frac{24 - 26}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Так как скорость яхты в неподвижной воде не может быть отрицательной, выбираем \( v = 25 \) км/ч.

Ответ: 25 км/ч.