10. а) Решите уравнение 6 sin²x + 7 cos x - 7 = 0.

Решение:

Заменим \( \sin^2 x \) через \( 1 - \cos^2 x \) по основному тригонометрическому тождеству:

\[ 6(1 - \cos^2 x) + 7 \cos x - 7 = 0 \]

\[ 6 - 6\cos^2 x + 7 \cos x - 7 = 0 \]

\[ -6\cos^2 x + 7 \cos x - 1 = 0 \]

Умножим на -1:

\[ 6\cos^2 x - 7 \cos x + 1 = 0 \]

Сделаем замену переменной. Пусть \( t = \cos x \). Тогда:

\[ 6t^2 - 7t + 1 = 0 \]

Найдем корни квадратного уравнения:

\[ t = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1}}{2 \cdot 6} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{12} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{12} = \frac{7 \pm 5}{12} \]

Получаем два значения для \( t \):

\[ t_1 = \frac{7 + 5}{12} = \frac{12}{12} = 1 \]

\[ t_2 = \frac{7 - 5}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \]

Возвращаемся к замене \( t = \cos x \):

1) \( \cos x = 1 \)

\[ x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

2) \( \cos x = \frac{1}{6} \)

\[ x = \pm \arccos \left(\frac{1}{6}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = 2\pi n \) и \( x = \pm \arccos \left(\frac{1}{6}\right) + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} \)