9. Решите неравенство log_x²+x (x² - 2x + 1) ≤ 1.

Решение:

ОДЗ: \( x^2 + x > 0 \), \( x^2 + x
e 1 \), \( x^2 - 2x + 1 > 0 \).

\( x(x+1) > 0 \) \(\Rightarrow\) \( x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty) \).

\( x^2 + x - 1
e 0 \) \(\Rightarrow\) \( x
e \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \).

\( (x-1)^2 > 0 \) \(\Rightarrow\) \( x
e 1 \).

Рассмотрим два случая для основания логарифма:

Случай 1: \( x^2 + x > 1 \)

\( x^2 + x - 1 > 0 \) \(\Rightarrow\) \( x \in (-\infty, \frac{-1-\sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{-1+\sqrt{5}}{2}, \infty) \).

В этом случае \( x^2 - 2x + 1 \le (x^2 + x)^1 \).

\( (x-1)^2 \le x^2 + x \)

\( x^2 - 2x + 1 \le x^2 + x \)

\( 1 \le 3x \)

\( x \ge 1/3 \).

Объединим условия для этого случая:

\( x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty) \) (ОДЗ)

\( x \in (-\infty, \frac{-1-\sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{-1+\sqrt{5}}{2}, \infty) \) (основание > 1)

\( x \ge 1/3 \) (неравенство)

\( x
e 1 \) (из ОДЗ)

\( \frac{-1-\sqrt{5}}{2} \approx -1.618 \) ; \( \frac{-1+\sqrt{5}}{2} \approx 0.618 \)

Пересечение: \( x \in (\frac{-1+\sqrt{5}}{2}, \infty) \) и \( x \ge 1/3 \) и \( x
e 1 \) и \( x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty) \).

\( x \in (\frac{-1+\sqrt{5}}{2}, \infty) \) и \( x
e 1 \).

Случай 2: \( 0 < x^2 + x < 1 \)

\( 0 < x(x+1) < 1 \) \(\Rightarrow\) \( x \in (-1, 0) \cup (\frac{-1-\sqrt{5}}{2}, -1] \cup [0, \frac{-1+\sqrt{5}}{2}) \).

В этом случае \( x^2 - 2x + 1 \ge (x^2 + x)^1 \).

\( (x-1)^2 \ge x^2 + x \)

\( x^2 - 2x + 1 \ge x^2 + x \)

\( 1 \ge 3x \)

\( x \le 1/3 \).

Объединим условия для этого случая:

\( x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty) \) (ОДЗ)

\( x \in (-1, 0) \cup (\frac{-1-\sqrt{5}}{2}, -1] \cup [0, \frac{-1+\sqrt{5}}{2}) \) (основание от 0 до 1)

\( x \le 1/3 \) (неравенство)

\( x
e 1 \) (из ОДЗ)

Пересечение: \( x \in (-1, 0) \cup [0, \frac{-1+\sqrt{5}}{2}) \) и \( x \le 1/3 \) и \( x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty) \).

\( x \in (0, 1/3] \).

Объединяем решения из обоих случаев:

\( x \in (0, 1/3] \cup (\frac{-1+\sqrt{5}}{2}, \infty) \) и \( x
e 1 \).

Ответ: \( (0; 1/3] \cup (\frac{-1+\sqrt{5}}{2}; 1) \cup (1; \infty) \).