8. На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Функция F(x) = −x³ – 27x² – 240x – 8 одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решение:

Закрашенная фигура ограничена графиком функции \( y=f(x) \) и осью \( Ox \) на отрезке \( [-10, -8] \).

Чтобы найти площадь фигуры, нам нужно знать функцию \( f(x) \). Так как \( F(x) \) — одна из первообразных \( f(x) \), то \( f(x) = F'(x) \).

Найдем производную \( F(x) \):

\( F(x) = -x^3 - 27x^2 - 240x - 8 \)

\( f(x) = F'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3 - 27x^2 - 240x - 8) \)

\( f(x) = -3x^2 - 54x - 240 \)

Теперь найдём площадь закрашенной фигуры как определённый интеграл от \( f(x) \) по отрезку \( [-10, -8] \). На этом отрезке график \( f(x) \) находится ниже оси \( Ox \) (судя по рисунку, функция принимает отрицательные значения), поэтому площадь равна \( -\int_{-10}^{-8} f(x) dx \).

\( \int f(x) dx = \int (-3x^2 - 54x - 240) dx = -x^3 - 27x^2 - 240x \) (это и есть \( F(x) \) без константы).

Теперь вычислим определённый интеграл:

\( \int_{-10}^{-8} (-3x^2 - 54x - 240) dx = F(-8) - F(-10) \)

\( F(-8) = -(-8)^3 - 27(-8)^2 - 240(-8) = -(-512) - 27(64) + 1920 = 512 - 1728 + 1920 = 704 \)

\( F(-10) = -(-10)^3 - 27(-10)^2 - 240(-10) = -(-1000) - 27(100) + 2400 = 1000 - 2700 + 2400 = 700 \)

\( F(-8) - F(-10) = 704 - 700 = 4 \).

Площадь фигуры равна \( -(\text{значение интеграла}) \) так как график под осью:

Площадь = \( -(F(-8) - F(-10)) = -(4) = -4 \). Но площадь не может быть отрицательной. По рисунку видно, что график находится под осью Ox, следовательно, значение интеграла должно быть отрицательным. Возможно, я ошиблась в вычислениях или интерпретации рисунка. Проверим f(x) на отрезке.

\( f(-9) = -3(-9)^2 - 54(-9) - 240 = -3(81) + 486 - 240 = -243 + 486 - 240 = 3 \). Это противоречит рисунку. Проверим, правильно ли скопирована функция F(x).

Предположим, что рисунок верен и функция является отрицательной на отрезке. Тогда площадь равна \( \int_{-10}^{-8} |f(x)| dx \).

Давайте пересчитаем F(-8) и F(-10) аккуратно.

\( F(-8) = -(-8)^3 - 27(-8)^2 - 240(-8) = 512 - 27(64) + 1920 = 512 - 1728 + 1920 = 704 \)

\( F(-10) = -(-10)^3 - 27(-10)^2 - 240(-10) = 1000 - 27(100) + 2400 = 1000 - 2700 + 2400 = 700 \)

\( F(-8) - F(-10) = 704 - 700 = 4 \). Значение интеграла положительное. Это означает, что график функции \( f(x) \) на самом деле находится выше оси \( Ox \) на отрезке \( [-10, -8] \), или моя производная не соответствует графику.

Проверим корни \( f(x) = -3x^2 - 54x - 240 \).

Дискриминант \( D = (-54)^2 - 4(-3)(-240) = 2916 - 2880 = 36 \).

\( x = \frac{54 \pm \sqrt{36}}{2(-3)} = \frac{54 \pm 6}{-6} \)

\( x_1 = \frac{54+6}{-6} = \frac{60}{-6} = -10 \)

\( x_2 = \frac{54-6}{-6} = \frac{48}{-6} = -8 \)

Значит, \( f(x) \) имеет корни \( x = -10 \) и \( x = -8 \). И парабола \( y = -3x^2 - 54x - 240 \) ветвями вниз. Следовательно, на отрезке \( (-10, -8) \) функция \( f(x) \) положительна.

Площадь фигуры равна \( \int_{-10}^{-8} (-3x^2 - 54x - 240) dx = F(-8) - F(-10) = 704 - 700 = 4 \).

Ответ: 4.