10. а) Решите уравнение 6 sin² x + 7 cos x - 7 = 0.

Решение:

1. Заменим \( \sin^2 x \) через \( 1 - \cos^2 x \) используя основное тригонометрическое тождество.
2. \( 6(1 - \cos^2 x) + 7 \cos x - 7 = 0 \).
3. Раскроем скобки: \( 6 - 6\cos^2 x + 7 \cos x - 7 = 0 \).
4. Приведём подобные члены: \( -6\cos^2 x + 7 \cos x - 1 = 0 \).
5. Умножим на -1 для удобства: \( 6\cos^2 x - 7 \cos x + 1 = 0 \).
6. Сделаем замену: пусть \( t = \cos x \). Тогда \( -1 \le t \le 1 \).
7. Уравнение примет вид: \( 6t^2 - 7t + 1 = 0 \).
8. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \( D = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 49 - 24 = 25 \).
9. Найдём корни \( t \): \( t = \frac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{7 \pm 5}{12} \).
10. \( t_1 = \frac{7+5}{12} = \frac{12}{12} = 1 \).
11. \( t_2 = \frac{7-5}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \).
12. Оба значения \( t=1 \) и \( t=1/6 \) удовлетворяют условию \( -1 \le t \le 1 \).
13. Вернёмся к замене \( t = \cos x \).
14. Первый случай: \( \cos x = 1 \).
15. \( x = 2\pi k \), где \( k \) — любое целое число.
16. Второй случай: \( \cos x = 1/6 \).
17. \( x = \pm \arccos(1/6) + 2\pi n \), где \( n \) — любое целое число.

Ответ: \( x = 2\pi k \) и \( x = \pm \arccos(1/6) + 2\pi n \), где \( k, n \) — целые числа.