10. ABCA₁B₁C₁ — наклонная призма, BB₁C₁C — квадрат, ∠ACB = 90°, AB = 8, ∠BAC = 30°, ∠(BCC₁; ABC) = 45°. Найдите h.

В прямоугольном треугольнике \(ABC\): \(\angle ACB=90^\circ\), \(\angle BAC=30^\circ\), \(AB=8\). Поэтому:

\[BC=AB\sin30^\circ=4,\qquad AC=AB\cos30^\circ=4\sqrt3.\]

Так как \(BB_1C_1C\) — квадрат, то \(CC_1=BC=4\).

Угол между ребром \(CC_1\) и плоскостью \((ABC)\) равен \(45^\circ\). Высота призмы — это перпендикулярная составляющая ребра \(CC_1\):

\[h=CC_1\sin45^\circ=4\cdot\frac{\sqrt2}{2}=2\sqrt2.\]

Ответ: \(2\sqrt2\).