10. BC = 12. 1) Постройте прямую пересечения плоскостей BCE и ACK. 2) Найдите длину отрезка этой прямой внутри тетраэдра.

По рисунку E — середина DA, K — середина DB, а O — точка пересечения CE и AK (медиан в треугольнике DAB). Плоскости BCE и ACK имеют две общие точки: C и O. Поэтому их линия пересечения — прямая CO.

Внутри тетраэдра эта прямая образует отрезок CO. В треугольнике DAB отрезок EK соединяет середины DA и DB, поэтому EK ∥ AB. Точка O лежит на медиане CE и является её точкой пересечения с AK; из пересечения медиан следует, что O делит CE в отношении CO:OE = 2:1, следовательно, CO = (2/3)CE.

Но из единственного данного BC = 12 длину CE определить нельзя: для этого нужны дополнительные размеры или условия о форме тетраэдра (например, равенство его рёбер или длина CE).

Ответ: прямая пересечения — CO; длина отрезка внутри тетраэдра по имеющимся данным не определяется.