10. Дано: ABCD — трапеция. По отметкам на рисунке BM = MA, BP = PC, AK = KD, MP = MK. Доказать: AB = CD.

1. Так как M — середина AB, а P — середина BC, отрезок MP является средней линией треугольника ABC. Поэтому MP = AC/2.
2. Так как M — середина AB, а K — середина AD, отрезок MK является средней линией треугольника ABD. Поэтому MK = BD/2.
3. По отметкам MP = MK, следовательно, AC/2 = BD/2, откуда AC = BD.
4. Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O. В трапеции треугольники AOD и COB подобны: угол AOD равен углу COB как вертикальный, а углы OAD и OCB равны как накрест лежащие при AD ∥ BC. Поэтому AO/CO = DO/BO. Из AC = BD следует AO + CO = DO + BO. Вместе с пропорцией это даёт AO = DO и CO = BO.
5. Треугольники AOB и DOC равны по двум сторонам и углу между ними: AO = DO, BO = CO, а углы AOB и DOC вертикальные. Значит, AB = CD.

Ответ: AB = CD.