10. Дано: MABC — пространственный четырёхугольник. Докажите, что плоскость M₁A₁B₁ параллельна плоскости MAB, если CA₁ : A₁A = CM₁ : M₁M = CB₁ : B₁B.

Точки A₁, M₁ и B₁ лежат соответственно на рёбрах CA, CM и CB. По условию они делят эти рёбра в одном и том же отношении, отсчитываемом от точки C.

Значит, существует одно число \(k>0\), для которого \(CA_1/CA=CM_1/CM=CB_1/CB=k\): равенство отношений отрезков на каждом ребре даёт одинаковую долю всего ребра. Гомотетия с центром C и коэффициентом k переводит A, M и B соответственно в A₁, M₁ и B₁.

Образ плоскости MAB при этой гомотетии — параллельная ей плоскость M₁A₁B₁.

Следовательно, плоскости M₁A₁B₁ и MAB параллельны.