4. Дано: α ∥ β. Прямые a и b пересекаются в точке O. Найдите ON и M₁N₁.

Поскольку плоскости α и β параллельны, треугольники OMN и ON₁M₁ подобны: их соответствующие стороны лежат на одних и тех же пересекающихся прямых, а MN ∥ N₁M₁.

По рисунку OM = 10, ON₁ = 5, OM₁ = 4, MN = 8. Коэффициент подобия от верхнего треугольника к нижнему равен \(\frac{ON_1}{OM}=\frac{5}{10}=\frac12\).

Тогда \(\frac{OM_1}{ON}=\frac12\), откуда \(ON=\frac{4}{1/2}=8\). Также \(\frac{M_1N_1}{MN}=\frac12\), поэтому \(M_1N_1=8\cdot\frac12=4\).

Ответ: ON = 8, M₁N₁ = 4.