10. Дано: MABC — пространственный четырёхугольник. Докажите, что плоскость MAB параллельна плоскости M₁A₁B₁, если CA₁ : A₁A = CM₁ : M₁C = CB₁ : B₁B.

По условию точки A₁, M₁ и B₁ делят соответственно отрезки CA, CM и CB в одном и том же отношении: \(CA_1:A_1A=CM_1:M_1C=CB_1:B_1B\).

В треугольнике CMA из равенства отношений следует по обратной теореме Фалеса, что \(A_1M_1\parallel AM\).

В треугольнике CMB из того же условия следует, что \(M_1B_1\parallel MB\).

Прямые A₁M₁ и M₁B₁ пересекаются и лежат в плоскости M₁A₁B₁; прямые AM и MB пересекаются и лежат в плоскости MAB. Две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Следовательно, плоскости параллельны.

Что и требовалось доказать.