10. Докажите, что если диагональ прямоугольника лежит на биссектрисе его угла, то он является квадратом.

Пусть ABCD — прямоугольник, а диагональ AC — биссектриса угла BAD. Тогда ∠BAC = ∠CAD. Так как ∠BAD = 90°, каждый из этих углов равен 45°.

В прямоугольном треугольнике ABC углы при A и B равны соответственно 45° и 90°, поэтому ∠ACB = 45°. Равным углам треугольника противолежат равные стороны: AB = BC.

У прямоугольника равенство соседних сторон означает, что все его стороны равны. Следовательно, ABCD — квадрат.