10. Докажите, что если медиана треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.

Пусть AM — медиана и высота треугольника ABC, проведённая к стороне BC.

1. Так как AM — медиана, M — середина BC, поэтому BM = MC.

2. Так как AM — высота, AM ⟂ BC. Значит, треугольники ABM и ACM прямоугольные.

3. У этих треугольников AM — общая сторона, а BM = MC. Следовательно, треугольники ABM и ACM равны по двум катетам.

4. Из равенства треугольников следует AB = AC. Значит, ABC равнобедренный.