10. Докажите, что значение выражения 3ⁿ + 3ⁿ⁺¹ + 3ⁿ⁺² кратно 39 при n ∈ N.

Решение:

Вынесем общий множитель \( 3^n \) за скобки:

\( 3^n + 3^{n+1} + 3^{n+2} = 3^n + 3^n \cdot 3^1 + 3^n \cdot 3^2 \)

\( = 3^n (1 + 3 + 9) \)

\( = 3^n (13) \)

Теперь представим выражение в виде произведения, которое делится на 39. Заметим, что \( 39 = 3 \cdot 13 \).

\( 3^n \cdot 13 \)

Для \( n \in N \) (т.е. \( n \ge 1 \)), \( 3^n \) всегда делится на 3.

Таким образом, \( 3^n \cdot 13 \) делится на \( 3 \) и на \( 13 \).

Следовательно, \( 3^n \cdot 13 \) делится на произведение \( 3 \cdot 13 = 39 \).

Доказано.