10. Докажите признак ромба. Параллелограмм является ромбом, если: а) его диагонали взаимно перпендикулярны; б) диагональ делит его угол пополам.

а) Пусть ABCD — параллелограмм, диагонали которого перпендикулярны и пересекаются в точке O. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому AO = OC. Треугольники AOB и COB прямоугольные, имеют общий катет BO и равные катеты AO и OC; следовательно, они равны. Значит, AB = BC. В параллелограмме равенство двух соседних сторон означает, что равны все четыре стороны. Следовательно, ABCD — ромб.

б) Пусть диагональ AC параллелограмма ABCD делит угол A пополам: ∠BAC = ∠CAD. Поскольку AD ∥ BC, ∠CAD = ∠ACB (накрест лежащие углы). Тогда ∠BAC = ∠ACB, откуда в треугольнике ABC противоположные этим углам стороны равны: BC = AB. Параллелограмм с равными соседними сторонами является ромбом. Следовательно, ABCD — ромб.