10. Два параллелограмма ABCD и BCEK имеют общую сторону BC. Верно ли, что середины отрезков AE и KD совпадают?

Да, верно.

Обозначим середину отрезка \(AE\) через \(M\), а середину отрезка \(KD\) — через \(N\).

1. В параллелограмме \(ABCD\) диагонали пересекаются и делятся пополам. Поэтому середина отрезка \(AD\) является средней точкой между соответствующими вершинами.
2. В параллелограмме \(BCEK\) имеем \(\overrightarrow{KE}=\overrightarrow{BC}\), а в параллелограмме \(ABCD\) \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\).
3. Следовательно, точки \(D\) и \(E\) получаются из точек \(A\) и \(K\) одним и тем же переносом на вектор \(\overrightarrow{BC}\). Поэтому середины отрезков \(AE\) и \(KD\) находятся в одной точке.

В координатной форме: пусть \(B=0\), \(C=\vec c\), \(A=\vec a\), \(K=\vec k\). Тогда \(D=\vec a+\vec c\), \(E=\vec k+\vec c\), и

\[M=\frac{A+E}{2}=\frac{\vec a+\vec k+\vec c}{2},\qquad N=\frac{K+D}{2}=\frac{\vec k+\vec a+\vec c}{2}.\]

Значит, \(M=N\).

Ответ: да, середины отрезков \(AE\) и \(KD\) совпадают.