9. Докажите, что отрезок, который соединяет середины двух противоположных сторон параллелограмма, равен одной из его сторон.

Рассмотрим параллелограмм \(ABCD\). Пусть \(M\) — середина стороны \(AB\), а \(N\) — середина противоположной стороны \(CD\).

1. Проведём через точку \(M\) прямую, параллельную сторонам \(AD\) и \(BC\).
2. Так как \(M\) — середина \(AB\), эта прямая пересекает диагональ \(AC\) в её середине. Обозначим точку пересечения через \(P\).
3. В треугольнике \(ADC\) точки \(P\) и \(N\) являются серединами сторон \(AC\) и \(DC\). Поэтому по теореме о средней линии треугольника \(PN\parallel AD\) и \(PN=\frac12AD\).
4. Аналогично, в треугольнике \(ABC\) отрезок \(MP\) равен \(\frac12BC\). В параллелограмме \(BC=AD\), поэтому \(MP=PN=\frac12AD\).
5. Следовательно, \(MN=MP+PN=\frac12AD+\frac12AD=AD\).

Ответ: отрезок, соединяющий середины противоположных сторон, равен стороне параллелограмма.