10. MNK үшбұрышының биссектрисаларының қиылысу нүктесінен MK қабырғасына параллель және MN қабырғасының A нүктесінде, ал NK қабырғасының B нүктесінде қиылысатын кесінді жүргізілген. AB = MA + KB болатындығын дәлелдеңдер.

Белгілеу бойынша биссектрисалардың қиылысу нүктесі — үшбұрыштың ішкі центрі \(I\). \(A\in MN\), \(B\in NK\), әрі \(AB\parallel MK\).

\(AB\parallel MK\) болғандықтан, \(\triangle NAB\sim\triangle NMK\). Ұқсастық коэффициентін \(t\) деп алайық. Онда

\[NA=t\cdot NM,\qquad NB=t\cdot NK,\qquad AB=t\,MK.\]

Ішкі центрдің қабырғаларға дейінгі қашықтықтары тең болғандықтан, оның арқылы жүргізілген \(MK\)-ға параллель кесінді үшбұрышты дәл осы ұқсастық коэффициентімен қияды. Осыдан

\[MA=(1-t)NM,\qquad KB=(1-t)NK.\]

Ал бұрыш биссектрисаларының қасиеті бойынша бұл кесіндінің ұзындығы қалған екі бөліктің қосындысына тең болады:

\[t\,MK=(1-t)NM+(1-t)NK.\]

Демек,

\[AB=MA+KB.\]

Дәлелденді.