10. Может ли быть верным равенство К × О × Т = У × Ч × Ё × Н × Ы × Й, если в него вместо букв подставить цифры от 1 до 9? Разным буквам соответствуют разные цифры.

Нет, такое равенство быть верным не может.

Все цифры от 1 до 9 используются ровно по одному разу. Поэтому произведение всех цифр равно:

\(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 = 362880\).

Если обозначить левую часть через \(A = К \cdot О \cdot Т\), то правая часть состоит из оставшихся шести цифр и равна \(362880 : A\). Равенство частей означало бы:

\(A = \frac{362880}{A}\), то есть \(A^2 = 362880\).

Но число 362880 не является точным квадратом: в его разложении есть простые множители с нечётными показателями:

\(362880 = 2^7 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 7\).

Следовательно, его квадратный корень не является натуральным числом. Равенство невозможно.

Ответ: нет, не может.