10. На плоскости дан треугольник ABC и точки D, E, F. Известно, что отрезки AD, BE и CF пересекают стороны треугольника BC, CA и AB соответственно. Будут ли отрезки DE и CF обязательно пересекаться?

Нет. Условия не гарантируют пересечения отрезков DE и CF.

Например, возьмём треугольник ABC с вершинами A(0; 0), B(4; 0), C(0; 4), а точки D(1; 1), E(1; 2), F(2; 1). Тогда AD пересекает BC, BE пересекает CA, а CF пересекает AB. При этом DE лежит на прямой x = 1, а CF — на прямой x + y = 4; их пересечение — точка (1; 3), которая не принадлежит отрезку DE. Следовательно, отрезки DE и CF не пересекаются.

Ответ: нет, не обязательно.