10. На рисунке изображён график функции $$f(x) = b + \log_a x$$. Найдите значение $$x$$, при котором $$f(x) = 9$$.

Решение:

Из графика видим, что точки \((1, -1)\) и \((4, 3)\) принадлежат графику функции \(f(x) = b + \log_a x\).

Подставим координаты точек в уравнение:

1. Для точки \((1, -1)\): \( -1 = b + \log_a 1 \). Так как \(\log_a 1 = 0\) для любого \(a > 0, a \neq 1\), получаем \( -1 = b + 0 \rightarrow b = -1 \).
2. Для точки \((4, 3)\): \( 3 = b + \log_a 4 \). Подставим \( b = -1 \): \( 3 = -1 + \log_a 4 \rightarrow \log_a 4 = 4 \).

Из определения логарифма имеем \( a^4 = 4 \).

Так как \( 4 = 2^2 \), то \( a^4 = 2^2 \).

Извлечём корень четвёртой степени из обеих частей:

\( a = \sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{2^2} = \sqrt{2} \).

Таким образом, уравнение графика функции: \( f(x) = -1 + \log_{\sqrt{2}} x \).

Найдем значение $$x$$, при котором \( f(x) = 9 \):

\( 9 = -1 + \log_{\sqrt{2}} x \)

\( 10 = \log_{\sqrt{2}} x \)

По определению логарифма:

\( x = (\sqrt{2})^{10} = (2^{1/2})^{10} = 2^{10/2} = 2^5 = 32 \).

Ответ: x = 32.