10. На рисунке m ∥ α, P ∈ α. Докажите, что в плоскости α существует прямая, проходящая через точку P и параллельная прямой m. Заполните пропуски в доказательстве.

Прямая m и не лежащая в ней точка P задают некоторую плоскость β. Так как P ∈ α и P ∈ β, а α и β — различные плоскости, то они пересекаются по некоторой прямой q, проходящей через P.

Плоскость β содержит прямую m, параллельную плоскости α, и пересекает плоскость α по прямой q. Поэтому m не пересекает q; поскольку обе прямые лежат в β, получаем m ∥ q. Значит, q — искомая прямая, проходящая через P и параллельная m.

Заполненный текст: «Прямая m и не лежащая на ней точка P задают некоторую плоскость β. Так как P ∈ α и P ∈ β, то, согласно теореме о пересечении двух плоскостей, плоскости α и β пересекаются по некоторой прямой q, проходящей через P. Докажем, что q — искомая прямая. Плоскость β проходит через прямую m, параллельную плоскости α, и пересекает плоскость α по прямой q, следовательно, m ∥ q».