10. На рисунке прямая m параллельна плоскости α, P ∈ α. Докажите, что в плоскости α существует прямая, проходящая через точку P и параллельная прямой m.

Проведём через прямую m и точку P плоскость β. Плоскости α и β различны, поскольку m ∥ α и m лежит в β. Они пересекаются по прямой q, проходящей через P.

Прямая m лежит в плоскости β и параллельна плоскости α. По теореме, если одна из двух пересекающихся плоскостей содержит прямую, параллельную другой плоскости, то линия пересечения этих плоскостей параллельна этой прямой. Значит, q ∥ m.

Таким образом, в плоскости α существует проходящая через P прямая q, параллельная m.